Шкільний курс геометрії ділиться на два великі розділи: Метрію і стереометрію. Стереометрія вивчає просторові фігури та їх характеристики. У цій статті ми розглянемо, що таке пряма призма, і наведемо формули, що описують такі її властивості, як довжини діагоналей, об'єм і площу поверхні.
Що таке призма?
Коли школярів просять назвати визначення призми, то вони відповідають, що дана фігура являє собою два однакових паралельних багатокутника, сторони яких з'єднані паралелограмами. Це визначення є максимально загальним, оскільки воно не накладає умови на форму багатокутників, на їх взаємне розташування в паралельних площинах. Крім того, воно передбачає наявність з'єднуючих паралелограмів, до класу яких також належать квадрат, ромб і прямокутник. Нижче можна подивитися, що собою являє чотирикутна призма.
Ми бачимо що призма - це багатогранник (поліедр), що складається з n + 2 сторін, 2 n вершин і 3 n ребер, де n - кількість сторін (вершин) одного з багатокутників.
Обидва багатокутники прийнято називати підставами фігури, інші грані - це бічні сторони призми.
Поняття про пряму призму
Існують призми різних видів. Так, говорять про правильні і неправильні фігури, про трикутні, п'ятикутні та інші призми, бувають випуклі і увігнуті фігури, нарешті, вони бувають похилими і прямими. Про останні поговоримо детальніше.
Пряма призма - це така фігура досліджуваного класу поліедрів, всі бічні чотирикутники якої мають прямі кути. Існує всього два типи таких чотирикутників - це прямокутник і квадрат.
Розглянутий вид фігури має важливу властивість: висота призми прямої дорівнює довжині її бокового ребра. Зазначимо, що всі бічні ребра фігури рівні між собою. Що стосується бічних граней, то в загальному випадку вони один одному не рівні. Їхня рівність можлива, якщо, крім того що призма є прямою, буде ще правильною.
Нижче малюнок демонструє пряму фігуру з п'ятикутною основою. Видно, що всі її грані бічні - це прямокутники.
Діагоналі призми та її лінійні параметри
Основними лінійними характеристиками будь-якої призми є її висота h і довжини сторін її заснування ai, де i = 1,..., n. Якщо основа є багатокутником правильним, тоді для опису його властивостей достатньо знати довжину a однієї сторони. Знання зазначених лінійних параметрів дозволяє однозначно визначити такі властивості фігури, як її об'єм або поверхня.
Діагоналі прямої призми - це відрізки, які з'єднують будь-які дві несміяні вершини. Такі діагоналі можуть бути трьох типів:
- що лежать в площинах основи;
- що знаходяться в площинах бічних прямокутників;
- належні до обсягу фігури.
Довжини тих діагоналів, що відносяться до основи, слід визначати залежно від типу n-вугільника.
Діагоналі бічних прямокутників розраховуються за такою формулою:
d1i = √(ai2 + h2).
Для визначення об'ємних діагоналей необхідно знати значення довжини відповідної діагоналі основи і висоти. Якщо деяку діагональ підстави позначити буквою d0i, тоді об'ємна діагональ d2i обчислюється так:
d2i = √(d0i2 + h2).
Наприклад, у разі правильної чотирикутної призми довжина об'ємної діагоналі дорівнюватиме:
d2 = √(2 × a2 + h2).
Зазначимо, що пряма трикутна призма володіє лише одним з трьох названих типів діагоналей: діагоналлю бокової сторони.
Поверхня класу фігур
Площа поверхні являє собою сукупність площ всіх граней фігури. Щоб наочно собі уявити всі грані, слід зробити розгортку призми. Як приклад така розгортка для п'ятикутної фігури наведена нижче.
Ми бачимо, що кількість плоских фігур дорівнює n + 2, причому n - це прямокутники. Щоб розрахувати площу всієї розгортки, слід скласти площі двох однакових підстав і площі всіх прямокутників. Тоді відповідна формула матиме вигляд:
S = 2 × So + h × −i=1n (ai).
З цієї рівності видно, що площа бічної поверхні для вивчення виду призм дорівнює виробу висоти фігури на периметр її основи.
Площу основи So можна розрахувати, застосовуючи відповідну геометричну формулу. Наприклад, якщо підстава прямої призми - прямокутний трикутник, тоді отримуємо:
So = a1 × a2 / 2.
Де a1 і a2 - катети трикутника.
Якщо ж підстава являє собою n-вугільник з рівними кутами і сторонами, тоді буде справедливим застосування такої формули:
So = n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Формула об "єму
Визначення обсягу призми будь-якого виду не є складним завданням, якщо відомі значення її площі основи So і висоти h. Перемноживши ці значення між собою, ми отримаємо обсяг V фігури, тобто:
V = So × h.
Оскільки у прямої призми параметр h дорівнює довжині ребра бокового, то вся проблема обчислення обсягу зводиться до розрахунку площі So. Вище ми вже сказали кілька слів і привели пару формул, що дозволяють визначити So. Тут лише зазначимо, що в разі основи довільної форми, слід розбити його на прості сегменти (трикутники, прямокутники), розрахувати площу кожного, а потім скласти всі площі, щоб отримати So.