У старших класах шкіл після вивчення властивостей фігур на площині переходять до розгляду просторових геометричних об'єктів таких, як призми, сфери, піраміди, циліндри та конуси. У цій статті дамо максимально повну характеристику прямій трикутній призмі.
Що собою являє трикутна призма?
Почнемо статтю з визначення фігури, про яку далі піде мова. Призма з точки зору геометрії є фігурою в просторі, утвореній двома однаковими n-вугільниками, що знаходяться в паралельних площинах, однакові кути яких з'єднані прямими відрізками. Ці відрізки називаються бічними ребрами. Разом зі сторонами заснування вони утворюють бічну поверхню, яка в загальному випадку представлена паралелограмами.
Два n-вугільники - це підстави фігури. Якщо бічні ребра їм перпендикулярні, то говорять про прямий призм. Відповідно, якщо число сторін n багатокутника в підставах дорівнює трьом, то така фігура називається трикутною призмою.
Трикутна пряма призма показана вище на малюнку. Ця фігура також називається правильною, оскільки в її підставах лежать рівносторонні трикутники. Довжина бічного ребра фігури, позначена на малюнку буквою h, називається її висотою.
Малюнок показує, що призма з трикутною основою утворена п'ятьма гранями, дві з яких - рівносторонні трикутники, а три - однакові прямокутники. Крім граней, призма володіє шістьма вершинами при підставах і дев'ятьма ребрами. Кількості розглянутих елементів пов'язані один з одним теоремою Ейлера:
число ребер = число вершин + число сторін - 2.
Площа прямої трикутної призми
Вище ми з'ясували, що розглянута фігура утворена п'ятьма гранями двох видів (два трикутники, три прямокутники). Всі ці грані утворюють повну поверхню призми. Їх сумарна площа є площею фігури. Нижче показана розгортка трикутної призми, яка може бути отримана, якщо від фігури спочатку відрізати дві підстави, а потім, розрізати вздовж одного ребра і розгорнути бічну поверхню.
Наведемо формули для визначення площі поверхні цієї розгортки. Почнемо з підстав прямої трикутної призми. Оскільки вони представляють трикутники, то площа S3 кожного з них може бути знайдена так:
S3 = 1/2*a*ha.
Тут a - це сторона трикутника, ha - опущена з вершини трикутника висота на цей бік.
Якщо трикутник є рівностороннім (правильним), формула для S3 залежить тільки від одного параметра a. Вона має вигляд:
S3 = √3/4*a2.
Цей вираз можна отримати, якщо переглянути прямокутний трикутник, утворений відрізками a, a/2, ha.
Площа підстав So для правильної фігури в два рази більше величини S3:
So = 2*S3 = √3/2*a2.
Що стосується площі бічної поверхні Sb, то вирахувати її не складно. Для цього достатньо помножити на три площу одного прямокутника, утвореного сторонами a і h. Відповідна формула має вигляд:
Sb = 3*a*h.
Таким чином, площа правильної призми з основою трикутним знаходиться за такою формулою:
S = So + Sb = √3/2*a2 + 3*a*h.
Якщо призма є прямою, але неправильною, тоді для розрахунку її площі слід окремо складати площі прямокутників, які один одному не будуть рівні.
Визначення об'єму фігури
Під обсягом призми розуміють обмежений її сторонами (гранями) простір. Розрахувати об'єм прямої трикутної призми набагато простіше, ніж площа її поверхні. Для цього достатньо знати площу основи і висоту фігури. Оскільки висотою h прямої фігури є довжина її бокового ребра, а як розраховувати площу основи, ми привели в попередньому пункті, то залишається помножити один на одного ці дві величини, щоб отримати шуканий об'єм. Формула для нього приймає вигляд:
V = S3*h.
Зазначимо, що твори площі однієї основи на висоту дасть обсяг не тільки прямої призми, але також похилої фігури і навіть циліндра.
Вирішення завдання
Скляні трикутні призми використовують в оптиці для вивчення спектру електромагнітного випромінювання завдяки явищу дисперсії. Відомо, що скляна правильна призма має довжину сторони основи 10 см і довжину ребра 15 см. Чому дорівнює площа її скляних граней, і який об'єм в собі вона укладає?
Щоб визначити площу, скористаймося формулою, записаною в статті. Маємо:
S = ^ 3/2 * a2 + 3 * a * h = ^ 3/2 * 102 + 3 * 10 * 15 = 536,6 см2.
Для визначення об'єму V також скористаємося записаною вище формулою:
V = S3 * h = ^ 3/4 * a2 * h = ^ 3/4 * 102 * 15 = 649,5 см3.
Незважаючи на те що ребра призми мають довжини 10 см і 15 см, об'єм фігури становить всього 0,65 літра (куб зі стороною 10 см має об'єм 1 літр).