П'ятикутна призма при вирішенні завдань з геометрії зустрічається набагато рідше, ніж такі призми, як трикутна, чотирикутна або шестикутна. Проте корисно розглянути основні властивості цієї фігури, а також дізнатися, як її можна намалювати.
Що собою являє п'ятикутна призма?
Йдеться про об'ємну фігуру, підстави якої є п'ятикутниками, а бічні сторони - паралелограмами. Якщо кожен з цих паралелограмів буде перпендикулярний паралельним підставам, то така призма називається прямокутною. Бічна поверхня прямокутної п'ятикутної призми складена з п'яти прямокутників. Причому прилегла до основи сторона кожного з них дорівнює відповідній довжині сторони п'ятикутника.
Якщо п'ятикутник буде правильним, тобто всі його сторони і кути будуть рівні один одному, тоді така прямокутна призма називається правильною. Далі в статті будемо розглядати властивості саме цієї фігури.
Елементи призми
Для неї, як і для будь-якої призми, характерні такі елементи:
- грані або сторони - це частини площин, що обмежують фігуру в просторі;
- вершини - точки перетину трьох сторін;
- ребра - відрізки перетину двох сторін фігури.
Числа всіх названих елементів пов'язані один з одним наступною рівністю:
Число ребер = число вершин + число граней - 2
Цей вислів має назву формули Ейлера для поліедру.
У п'ятикутній призмі кількість сторін дорівнює семи (дві підстави + п'ять прямокутників). Число вершин становить 10 (по п'ять для кожної підстави). Число ребер в такому випадку буде дорівнювати:
Число ребер = 10 + 7 - 2 = 15
Десять ребер належать підставам призми, а п'ять ребер утворені прямокутниками.
Як накреслити п'ятикутну призму?
Відповідь на це питання залежить від конкретного завдання. Якщо необхідно накреслити довільну призму, тоді слід зобразити будь-який п'ятикутник. Після цього провести п'ять паралельних відрізків рівної довжини з кожної вершини п'ятикутника. Потім, з'єднати верхні кінці відрізків. Вийшла п'ятикутна довільна призма.
Якщо ж слід накреслити правильну призму, тоді вся складність завдання зводиться до отримання правильного п'ятикутника. Існує декілька способів накреслити цей багатокутник. Тут ми розглянемо лише два способи.
Перший спосіб полягає в побудові кола за допомогою циркуля. Потім проводиться довільний діаметр кола і від нього відраховується за допомогою транспортиру п'ять кутів по 72o (5 * 72o = 360o). При відліку кожного кута робиться насічка на кола. Для побудови прямокутника залишається з'єднати прямими відрізками зазначені насічки.
Другий спосіб передбачає використання тільки циркуля і лінійки. Він є дещо складним у порівнянні з попереднім. Нижче наводиться відео, де детально пояснюється кожен крок такої побудови.
Зауважимо, що п'ятикутник легко намалювати, якщо з'єднати кінці зірки. Якщо немає необхідності креслити точно правильний п'ятикутник, тоді можна використовувати спосіб із зіркою, намальованою від руки.
Як тільки п'ятикутник зображений, слід з кожної його вершини провести п'ять однакових паралельних відрізків і з'єднати їх вершини. Вийде п'ятикутна призма.
Площа фігури
Тепер розглянемо питання, як знайти площу п'ятикутної призми. На малюнку нижче наведена її розгортка. Видно, що шукана площа утворена двома однаковими п'ятикутниками і п'ятьма рівними один одному прямокутниками.
Площа всієї поверхні фігури виразиться формулою:
S = 2*So + 5*Sp
Тут індекси o і p означають основу і прямокутник відповідно. Позначимо довжину сторони п'ятикутника як a, а висоту фігури як h. Тоді для прямокутника запишемо:
Sp = a*h
Щоб обчислити площу п'ятикутника, скористаємося універсальною формулою:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)
Де n - число сторін багатокутника. Підставляючи n = 5, отримуємо:
S5 = 5/4*a2*ctg(pi/5) ≅ 1,72*a2
Точність отриманої рівності становить 3 знаки після коми, що цілком достатньо для вирішення будь-яких завдань.
Тепер залишається знайти суму отриманих площ основи і бічної поверхні. Маємо:
S = 2*1,72*a2 + 5*a*h = 3,44*a2 + 5*a*h
Слід пам'ятати, що отримана формула справедлива тільки для прямокутної призми. У випадку з косокутною фігурою площа її бічної поверхні знаходять, виходячи зі знання периметра зрізу, який повинен бути перпендикулярний всім паралелограмам.
Обсяг фігури
Формула розрахунку обсягу п'ятикутної призми нічим не відрізняється від аналогічного виразу для будь-якої іншої призми або циліндра. Обсяг фігури дорівнює твору її висоти на площу основи:
V = So*h
Якщо розглянута призма є прямокутною, тоді висота в ній є довжиною ребра, утвореного прямокутниками. Площа правильного п'ятикутника була вирахувана вище з високою точністю. Підставимо це значення у формулу для обсягу і отримаємо необхідний вираз для п'ятикутної правильної призми:
V = 1,72*a2*h
Таким чином, обчислення обсягу і площі поверхні п'ятикутної правильної призми можливо, якщо відома сторона основи і висота фігури.