Призма є поліедром або багатогранником, який вивчають у шкільному курсі стереометрії. Однією з важливих властивостей цього багатогранника є його обсяг. Розгляньмо у статті як можна обчислити цю величину, а також наведемо формули обсягу призм - правильних чотирикутної і шестикутної.
Призма стереометрії
Під цією фігурою розуміють поліедр, який складається з двох однакових багатокутників, розташованих у паралельних площинах, і з декількох паралелограмів. Для певних видів призм паралелограми можуть представляти прямокутні чотирикутники або квадрати. Нижче показано приклад так званої п'ятикутної призми.
Щоб побудувати фігуру як на малюнку вище, необхідно взяти п'ятикутник і виконати його паралельне перенесення на деяку відстань у просторі. З'єднавши сторони двох п'ятикутників за допомогою паралелограмів ми отримаємо шукану призму.
Всяка призма складається з граней, вершин і ребер. Вершини призми, на відміну від піраміди, є рівноправними, кожна з них належить до однієї з двох підстав. Межі і ребра бувають двох типів: ті, що належать підставам, і ті, що належать до бокових сторін.
Призми бувають декількох видів (правильні, похилі, випуклі, прямі, увігнуті). Розглянемо далі у статті за якою формулою обсяг призми розраховується, беручи до уваги вигляд фігури.
Загальний вираз для визначення обсягу призми
Незалежно від того до якого виду відноситься вивчена фігура, чи є вона прямою або похилою, правильною або неправильною, існує універсальний вираз, що дозволяє визначити її обсяг. Об'ємом просторової фігури називають область простору між її гранями. Загальна формула обсягу призми виглядає так:
V = So × h.
Тут So являє собою площу основи. Слід запам'ятати що мова йде саме про одну підставі, а не про дві. Величина h - це висота. Під висотою фігури розуміють відстань між її однаковими підставами. Якщо ця відстань збігається з довжинами бічних ребер, тоді говорять про прямий призм. Прямою фігурою всі бокові сторони є прямокутниками.
Таким чином, якщо призма є похилою і має неправильний багатокутник у підставі, то розрахунок її обсягу ускладнюється. Якщо ж фігура є прямою, то обчислення обсягу зводиться тільки до визначення площі основи So.
Визначення об'єму правильної фігури
Правильною називається будь-яка призма, яка є прямою і має багатокутну основу з рівними одна одній сторонами і кутами. Наприклад, такими правильними багатокутниками є квадрат і рівносторонній трикутник. Водночас ромб не є правильною фігурою, оскільки не всі його кути рівні між собою.
Формула обсягу призми правильною однозначно випливає із загального виразу для V, який було записано в попередньому пункті статті. Перш ніж переходити до запису відповідної формули, необхідно визначити площу правильної основи. Не вдаючись у математичні подробиці, наведемо формулу визначення зазначеної площі. Вона носить універсальний характер для будь-якого правильного n-вугільника і має наступний вигляд:
Sn = n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Як видно з виразу, площа Sn - це функція двох параметрів. Ціле число n може приймати значення від 3 до нескінченності. Величина a - це довжина сторони n-вугільника.
Для обчислення об'єму фігури необхідно лише помножити площу Sn на висоту h або на довжину бокового ребра b (h = b). У підсумку приходимо до наступної робочої формули:
V = n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Зауважимо, що для визначення обсягу призми довільного вигляду необхідно знати кілька величин (довжини сторін основи, висоту, двогранні кути фігури), для розрахунку ж величини V правильної призми нам слід знати лише два лінійних параметри, наприклад, a і h.
Обсяг призми чотирикутної правильної
Чотирикутна призма називається паралелепіпедом. Якщо у неї всі грані рівні і являють собою квадрати, то така фігура буде кубом. Кожен школяр знає, що об'єм прямокутного паралелепіпеда або куба визначається в результаті множення трьох його різних сторін (довжини висоти і ширини). Цей факт випливає з записаного загального виразу обсягу для правильної фігури:
V = n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h = 4/4 × ctg ( pi / 4) × a2 × h = a2 × h.
Тут котангенс від 45 ° дорівнює 1. Зауважимо, що рівність висоти h і довжини сторони основи a автоматично призводить до формули обсягу куба.
Обсяг призми шестикутної правильної
Тепер застосуємо викладену вище теорію для визначення обсягу фігури з шестикутною підставою. Для цього слід лише підставити значення n = 6 у формулу:
V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h = 3 × √3/2 × a2 × h.
Записаний вираз можна отримати самостійно, не користуючись універсальною формулою для Sn. Щоб це зробити необхідно розділити правильний шестикутник на шість рівносторонніх трикутників. Сторона кожного з них буде рівна a. Площа одного трикутника відповідає:
S3 = √3/4 × a2.
Помноживши цю величину на кількість трикутників (6) і на висоту, ми отримаємо записану вище формулу для обсягу.