Вивченням характеристик тривимірних геометричних фігур займається стереометрія. Одна з відомих об'ємних фігур, яка з'являється в завданнях з геометрії, - це пряма призма. Розгляньмо в цій статті, що вона собою являє, а також детально охарактеризуємо призму з трикутною підставою.
Призма та її види
Під призмою передбачають таку фігуру, яка утворюється в результаті паралельного перенесення багатокутника в просторі. У результаті цієї геометричної операції утворюється фігура, що складається з декількох паралелограмів і двох однакових паралельних один одному багатокутників. Паралелограми є бічними сторонами призми, а багатокутники - це її підстави.
Будь-яка призма має n + 2 сторони, 3 * n ребер і 2 * n вершин, де n - число кутів або сторін багатокутної основи. На зображенні показана п'ятикутна призма, яка складається з 7 сторін, 10 вершин і 15 ребер.
Розглянутий клас фігур представлений призмами декількох видів. Перерахуємо їх коротко:
- увігнуті і випуклі;
- похилі та прямі;
- неправильні і правильні.
Кожна фігура належить до одного з перерахованих трьох видів класифікації. Під час вирішення геометричних завдань найпростіше виконувати розрахунки для правильних і прямих призм. У наступних пунктах статті ми розглянемо останні деталі.
Що це - призма пряма?
Прямою називається увігнута або випукла, правильна або неправильна призма, у якої всі бокові сторони представлені чотирикутниками з кутами 90 °. Якщо хоча б один з чотирикутників бічних сторін не буде прямокутником або квадратом, то призма називається похилою. Можна також дати інше визначення: пряма призма - це така фігура даного класу, у якої будь-яке бокове ребро дорівнює висоті. Під висотою h призми вважають дистанцію між її підставами.
Обидва наведені визначення того, що це - пряма призма, є рівноправними і самодостатніми. З них випливає, що всі двогранні кути між будь-якою з підстав і кожною боковою стороною дорівнюють 90 °.
Вище було сказано, що з прямими фігурами зручно працювати при вирішенні завдань. Це пов'язано з тим, що висота збігається з довжиною бічного ребра. Останній факт полегшує процес обчислення обсягу фігури і площі її бічної поверхні.
Обсяг прямої призми
Обсяг - властива будь-якій просторовій фігурі величина, яка чисельно відображає частину простору, укладеного між поверхнями об'єкта, що розглядається. Обсяг призми може бути розрахований за такою загальною формулою:
V = So*h.
Тобто твір висоти на площу основи дасть шукане значення V. Оскільки у прямої призми основи рівні, то для визначення площі So можна брати будь-яке з них.
Перевага використання наведеної вище формули саме для прямої призми в порівнянні з іншими її видами полягає в тому, що висоту фігури знайти дуже просто, так як вона збігається з довжиною бокового ребра.
Площа бічної поверхні
Зручно розраховувати не тільки обсяг для прямої фігури розглянутого класу, але також її бічну поверхню. Дійсно, будь-яка її бокова сторона - це або прямокутник, або квадрат. Як вирахувати площу цих плоских фігур, знає кожен школяр, для цього необхідно помножити суміжні сторони один на одного.
Припустимо, що в підставі призми лежить довільний n-вугільник, сторони якого рівні ai. Індекс i пробігає значення від 1 до n. Площа одного прямокутника обчислюється так:
Si = ai*h.
Площу поверхні бічної Sb неважко обчислити, якщо скласти всі площі Si прямокутників. У такому випадку отримуємо кінцеву формулу для Sb прямої призми:
Sb = h*−i=1n(ai) = h*Po.
Таким чином, щоб визначити площу бічної поверхні для прямої призми, необхідно помножити її висоту на периметр однієї основи.
Завдання з трикутною призмою
Припустимо, що задана пряма призма. Основа - прямокутний трикутник. Катети цього трикутника дорівнюють 12 см і 8 см. Необхідно розрахувати об'єм фігури та її повну площу, якщо висота призми становить 15 см.
Для початку вирахуємо обсяг прямої призми. Трикутник (прямокутний), що знаходиться в її підставах, має площу:
So = a1 * a2/2 = 12 * 8/2 = 48 см2.
Як можна здогадатися, a1 і a2 в цій рівності є катетами. Знаючи площу основи і висоту (див. умову завдання), можна скористатися формулою для V:
V = So * h = 48 * 15 = 720 см3.
Повна площа фігури утворена двома частинами: площами підстав і бічною поверхнею. Площі двох підстав рівні:
S2o = 2 * So = 48 * 2 = 96 см2.
Для обчислення площі бічної поверхні необхідно знати периметр прямокутного трикутника. Обчислимо за теоремою Піфагора його гіпотенузу a3, маємо:
a3 = ^ (a12 + a22) = ^ (122 + 82) = 14,42 см.
Тоді периметр трикутника заснування прямої призми складе:
P = a1 + a2 + a3 = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 см.
Застосовуючи формулу для Sb, яка була записана в попередньому пункті, отримуємо:
Sb = h * P = 15 * 34,42 = 516,3 см.
Склавши площі S2o і Sb, ми отримаємо повну площу поверхні геометричної фігури:
S = S2o + Sb = 96 + 516,3 = 612,3 см2.
Трикутна призма, яку виготовляють зі спеціальних видів скла, застосовується в оптиці при вивченні спектрів об'єктів, що випромінюють світло. Такі призми здатні розкладати світло на складові частоти завдяки явищу дисперсії.