Призма є однією з відомих фігур, що вивчаються в курсі стереометрії в загальноосвітніх школах. Щоб вміти розраховувати різні характеристики для фігур цього класу, необхідно знати, які види призм існують. Розгляньмо це питання докладніше.
Призма стереометрії
В першу чергу дамо визначення згаданому класу фігур. Призмою є будь-який багатогранник, що складається з двох паралельних багатокутних підстав, які між собою з'єднані паралелограмами.
Отримати цю фігуру можна так: слід вибрати довільний багатокутник на площині, а потім переміщати його на довжину будь-якого вектора, який не належить вихідній площині багатокутника. Під час такого паралельного переміщення сторони багатокутника опишуть бічні грані майбутньої призми, а кінцеве положення багатокутника стане другою підставою фігури. Описаним способом може бути отримана довільного виду призма. Малюнок нижче демонструє призму трикутну.
Яких бувають призми видів?
Мова йде про класифікацію фігур розглянутого класу. У загальному випадку цю класифікацію здійснюють з урахуванням особливостей багатокутної підстави і бічних сторін фігури. Зазвичай виділяють наступні три види призм:
- Прямі та похилі (косокутні).
- Правильні і неправильні.
- Випуклі і увігнуті.
Призма будь-якого з названих типів класифікації може мати чотирикутну, п'ятикутну,..., n-вугільну основу. Що стосується видів трикутної призми, то вона може бути класифікована тільки за першими двома названими пунктами. Трикутна призма завжди є випуклою.
Нижче детальніше розглянемо кожен з названих типів класифікації і наведемо деякі корисні формули для обчислення геометричних властивостей призми (площі поверхні, обсягу).
Прямі і похилі фігури
Відрізнити пряму призму від косокутної можна з першого погляду. Наведемо відповідний малюнок.
Тут показано дві призми (шестикутна ліворуч і п'ятикутна справа). Кожен з упевненістю скаже, що шестикутна є прямою, а п'ятикутна - похилою. Яка геометрична ознака відрізняє ці призми? Звичайно ж, тип бічної межі.
У прямої призми, незалежно від її заснування, всі грані є прямокутниками. Вони можуть бути рівні один одному, а можуть відрізнятися, важливо лише те, що це прямокутники, і їх двогранні кути з підставами рівні 90o.
Відносно похилої фігури, слід сказати, що всі або деякі бічні грані у неї є паралелограмами, які з підставою утворюють непрямі двогранні кути.
Для всіх видів прямих призм висотою є довжина бічного ребра, для похилих же фігур висота завжди менше їх бічних ребер. Знання висоти призми важливе при обчисленні площі її поверхні та обсягу. Наприклад, формула обсягу має вигляд:
V = So*h
Де h - висота, So - площа однієї основи.
Призми правильні і неправильні
Будь - яка призма є неправильною, якщо вона не пряма, або її основа не є правильною. Питання прямих і похилих призм було розібрано вище. Розгляньмо, що означає вираз "правильне багатокутне підґрунтя" ".
Багатокутник є правильним, якщо всі його сторони рівні (позначимо їх довжину буквою a), і всі його кути також рівні між собою. Прикладами правильних багатокутників є трикутник рівносторонній, квадрат, шестикутник з шістьма кутами по 120o і так далі. Площа будь-якого правильного n-вугільника розраховується за допомогою такої формули:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)
Нижче схематично показано, як виглядають правильні призми з трикутним, квадратним,..., восьмикутним підставами.
Використовуючи записану вище формулу для V, можна записати відповідний вираз для правильних фігур:
V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h
Що стосується площі повної поверхні, то для правильних призм вона утворена площами двох однакових підстав і n однакових прямокутників зі сторонами h і a. Зазначені факти дозволяють записати формулу для площі поверхні будь-якої правильної призми:
S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*a*h
Тут перше доданок відповідає площі двох підстав, друге доданок визначає площу виключно бічної поверхні.
З усіх видів призм правильних лише для чотирикутної існують власні назви. Так, чотирикутна призма правильна, у якої a h, називається прямокутним паралелепіпедом. Якщо ж у цієї фігури a = h, то говорять про кубі.
Увігнуті фігури
До теперішнього часу ми розглядали виключно випуклі види призм. Саме їм приділяється основна увага при вивченні розглянутого класу фігур. Проте існують також увігнуті призми. Вони від випуклих відрізняються тим, що їх основи являють собою увігнуті багатокутники, починаючи з чотирикутника.
На малюнку для прикладу зображені дві увігнуті призми, які виготовлені з паперу. Ліва з них у формі п'ятикутної зірки є десятикутною призмою, права у формі шестикутної зірки називається дванадцятикутною увігнутою прямою призмою.