Призма є досить простою геометричною об'ємною фігурою. Проте у деяких школярів при визначенні її основних властивостей виникають проблеми, причина яких, як правило, пов'язана з неправильно використовуваною термінологією. У цій статті розглянемо, які призми бувають, як вони називаються, а також детально охарактеризуємо правильну чотирикутну призму.
Призма в геометрії
Вивчення об'ємних фігур є завданням стереометрії - важливої частини просторової геометрії. У стереометрії під призмою розуміють таку фігуру, яка утворена паралельним перенесенням довільного плоского багатокутника на певну відстань у просторі. Паралельне перенесення передбачає таке переміщення, при якому поворот навколо осі, перпендикулярної площини багатокутника, повністю виключений.
У результаті описаного способу отримання призми утворюється фігура, обмежена двома багатокутниками, що мають однакові розміри, що лежать в паралельних площинах, і деяким числом паралелограмів. Їх кількість збігається з числом сторін (вершин) багатокутника. Однакові багатокутники називаються підставами призми, а площа їх поверхні - це площа підстав. Паралелограми, що з'єднують дві підстави, утворюють бічну поверхню.
Елементи призми і теорема Ейлера
Оскільки розглянута об'ємна фігура являє собою поліедр, тобто утворена набором площин, що перетинаються, то вона характеризується деякою кількістю вершин, ребер і граней. Всі вони є елементами призми.
У середині XVIII століття швейцарський математик Леонард Ейлер встановив зв'язок між кількістю основних елементів поліедру. Цей зв'язок записується такою простою формулою:
Число ребер = число вершин + число граней - 2
Для будь-якої призми справедлива ця рівність. Наведемо приклад його використання. Припустимо, є правильна чотирикутна призма. Вона зображена на малюнку нижче.
Видно, що число вершин для неї дорівнює 8 (по 4 для кожного чотирикутного основи). Число сторін, або граней становить 6 (2 підстави і 4 бічних прямокутника). Тоді кількість ребер для неї буде дорівнювати:
Число ребер = 8 + 6 - 2 = 12
Всі їх можна порахувати, якщо звернеться до того ж малюнку. Вісім ребер лежать в підставах, а чотири ребра перпендикулярні цим підставам.
Повна класифікація призм
З цією класифікацією важливо розібратися, щоб згодом не плутатися в термінології і використовувати правильні формули для обчислення, наприклад, площі поверхні або об'єму фігур.
Для будь-якої призми довільної форми можна виділити 4 ознаки, які її будуть характеризувати. Перерахуємо їх:
- За кількістю кутів багатокутника в підставі: трикутна, п'ятикутна, восьмикутна тощо.
- За типом багатокутника. Він може бути правильним або неправильним. Наприклад, прямокутний трикутник є неправильним, а рівносторонній - правильним.
- За типом випуклості багатокутника. Він може бути увігнутим або випуклим. Найчастіше зустрічаються випуклі призми.
- По кутах між підставами і бічними паралелограмами. Якщо всі ці кути дорівнюють 90o, то говорять про прямий призм, якщо не всі з них є прямими, то таку фігуру називають косокутною.
З усіх цих пунктів хотілося б зупинитися детальніше на останньому. Пряма призма також називається прямокутною. Пов'язано це з тим, що для неї паралелограми є прямокутниками в загальному випадку (в деяких випадках вони можуть бути квадратами).
Для прикладу на зображенні вище зображена п'ятикутна прямокутна, або пряма фігура.
Правильна чотирикутна призма
Основа цієї призми являє собою правильний чотирикутник, тобто квадрат. Вище на малюнку вже було показано, як виглядає ця призма. Крім двох квадратів, які її обмежують зверху і знизу, вона також включає 4 прямокутники.
Позначимо бік основи правильної чотирикутної призми буквою a, довжину її бокового ребра позначимо буквою c. Ця довжина також є висотою фігури. Тоді площа всієї поверхні цієї призми висловиться формулою:
S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)
Тут перше доданок відображає внесок підстав у загальну площу, друге доданок - це площа бічної поверхні.
Враховуючи введені позначення для довжин сторін, запишемо формулу для обсягу розглянутої фігури:
V = a2*c
Тобто обсяг обчислюється як витвір площі квадратної основи на довжину бокового ребра.
Фігура куб
Всі знають цю ідеальну об'ємну фігуру, але мало хто замислювався, що вона являє собою правильну чотирикутну призму, сторона якої дорівнює довжині сторони квадратної основи, тобто c = a.
Для куба формули повної площі поверхні та об'єму приймуть вигляд:
S = 6*a2
V = a3
Оскільки куб - це призма, що складається з 6 однакових квадратів, то будь-яку паралельну пару з них можна вважати підставою.
Куб - це високосиметрична фігура, яка в природі реалізується у вигляді кристалічних решіток багатьох металевих матеріалів та іонних кристалів. Наприклад, решітки золота, срібла, міді і кухонної солі є кубічними.