Виробнича функція Кобба-Дугласа: приклади рішення

Виробництво - це фактично процес перетворення одних продуктів на інші. У процесі якого із сукупності простого виходить щось більш складне за своєю сутністю. Виробнича функція Кобба-Дугласа, як і будь-яка інша, відображає існуючий взаємозв 'язок між отриманим результатом і комбінацією факторів, які використовувалися для його досягнення. Відмінності між різними моделями полягають у глибині їх охоплення реального стану справ. Найпростішим є лінійний, який відображає взаємозв 'язок між кількістю працівників і реальним випуском. Виробнича модель Кобба-Дугласа розглядає вже не тільки працю як ресурс для отримання результату, але і капітал. Найскладнішими є сучасні багатофакторні моделі. У них фігурує і земля, і підприємницькі здібності, і навіть інформація.

Виробництво як процес

Випуск продукції за своєю суттю являє собою перетворення різних матеріальних і нематеріальних вкладень (планів, ноу-хау) для створення предметів, призначених для споживання. Це процес створення товару або послуги, які корисні для індивідів. Зростання виробництва означає поліпшення економічного добробуту. Це пов 'язано з тим, що всі продукти прямо або побічно використовуються для задоволення людських потреб. А останні, як відомо, безмежні. Тому економічний добробут держави часто оцінюється за допомогою ступеня задоволення потреб його громадян. Його збільшення пов 'язують з двома факторами: поліпшенням співвідношення якості та ціни наявних продуктів і зростанням купівельної спроможності людей за рахунок більш ефективного ринкового виробництва.

Джерело економічного добробуту

Головним чином в економіці є тільки два процеси: виробництво і споживання. І стільки ж видів акторів. Виробники випускають продукцію, щоб задовольнити потреби споживачів. Економічний добробут, таким чином, складається з двох компонентів. Перший - це ефективне виробництво, другий - взаємодія між факторами. Добробут споживачів залежить від продуктів, які вони можуть собі дозволити, а виробників - від доходу, отриманого ними в якості компенсації за свою працю і вкладені в процес випуску матеріальні та нематеріальні активи.

Процес створення продукту

Кожне підприємство в ході своєї роботи має справу з безліччю окремих дій. Однак для простоти розуміння виробництва прийнято виділяти п 'ять основних процесів, у кожного з яких є своя логіка, цілі, теорія і ключові фігури. І важливо вивчати їх не тільки як одне ціле, а й окремо. Таким чином, в ході виробництва виділяють такі процеси:

• Реальний.
• Процес розподілу доходів.
• Виробничий.
• Монетарний.
• Процес визначення ринкової вартості.

Економічна дефініція

Виробнича функція - це відношення між випуском і використаною для його здійснення комбінацією факторів. Головний з них - праця. Проста лінійна модель розглядає тільки його. Виробнича функція Кобба-Дугласа, приклад якої буде розглянуто нижче, враховує не тільки працю, але і капітал як фактор процесу випуску продукції. Інші моделі додатково беруть до уваги землю (P) і підприємницькі здібності (H). Таким чином, виробництво являє собою функцію від комбінації цих показників або Q = f (K, L, P, H). Кожна галузь господарства або навіть окреме підприємство має свої особливості. Тому виробничих функцій можна придумати нескінченну безліч.

Проста лінійна модель

Виробнича функція Кобба-Дугласа враховує два фактори, як це прийнято в неокласичних теоріях. Однак набагато простіше розглядати тільки один. Теорія абсолютних переваг Адама Сміта, з якої фактично почалася вся сучасна економіка, мала в основі тільки працю в якості фактора виробництва. Не пішов від цього допущення і Давид Рікардо. І тільки в 60-х роках минулого століття шведські економісти Елі Хекшер і Бертіл Олін взяли на себе сміливість почати розглядати ще один фактор - капітал. Найпростіша виробнича модель є лінійною. Вона описує залежність між кількістю робочої сили і випуском. Її рівняння включає тільки одну незалежну змінну. Таким чином, лінійна виробнича функція має такий вигляд: Q = a * L, де Q - це обсяг випуску, a - параметр, L - кількість робітників, зайнятих у виробництві. Розгляньмо окремий приклад. Один робітник може зробити 10 стільців на день. У цьому випадку рівняння матиме такий вигляд: Q = 10 * L.

Закон зменшення віддачі

Продовжимо розглядати приклад, наведений вище. Лінійна функція передбачає, що збільшення кількості робітників завжди призводить до збільшення обсягів виробництва. Один майстер може зробити 10 стільців на день, п 'ять - 50, сто - 1000. Однак в реальності все трохи складніше. У подібних моделях потрібно враховувати незмінні капітальні фонди і зменшення віддачі. Тому в рівнянні з 'являється додатковий параметр - b. Він знаходиться в проміжку між нулем і одиницею, що випливає з його економічної сутності. Тепер взаємини між обсягом випуску та кількістю працівником можуть бути описані наступним чином: Q = a * Lb. Рівняння з попереднього прикладу в реальності матиме такий вигляд: Q = 10 * L0,5. А це означає, що один працівник виробляє 10 стільців, а п 'ять зовсім не 50, а тільки 22. Сто майстрів можуть в реальності зробити не тисячу виробів, а тільки сто. І це закон зменшення віддачі в дії.

Багатофакторні моделі

Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд: Q = a * Lb * Kc. Як видно з формули, ми вже маємо справу з трьома параметрами (a, b, c) і двома факторами (L, K). У ній враховуються вже не тільки трудові ресурси (кількість працівників), а й капітальні (число пив у розпорядженні). Параметри виробничої функції Кобба-Дугласа залежать не тільки від галузі господарства, а й технології, що використовується на окремому підприємстві. Не можна забувати і про дію закону вбиваючої віддачі від будь-якого використовуваного фактора. Наше рівняння з вищенаведеного прикладу може бути розширено наступним чином: Q = 10 * L0,5 * K. Виробнича функція Кобба-Дугласа використовує в сучасних неокласичних теоріях найбільш часто через свою відносну простоту і наближеність до реальності. Більш складні моделі ще тільки починають отримувати своє поширення.

Фіксовані пропорції

Припустимо, що єдиний спосіб зробити стілець - це дати кожному робітнику по пилку. Зайві інструменти в такому випадку просто марні. Це означає, що випуск продукту передбачає наявність певного співвідношення капітальних і трудових ресурсів. При цьому обсяг виробництва визначається "слабкою ланкою". На цей випадок економістами була придумана особлива функція. Вона має такий вигляд: min {L, K}. Якщо для створення стільця потрібно два робітники і одна пила, то min {2L, K}.

Ідеальні суб...

Якщо один фактор може бути замінений на інший, то це матиме ефект на вид виробничої функції. Наприклад, припустимо, що замість теслярів можна використовувати роботів. Формула з прикладу тоді виглядатиме так: Q = 10 * L + 10 * R. Або узагальнено: Q = a * L + d * R, де a, d - параметри, а L і R - кількість тесель і роботів. Якщо ж машини в 10 разів швидші за працівників, то формула буде виглядати наступним чином: Q = 10 * L + 100 * R.

Виробнича функція Кобба-Дугласа: властивості

Почнемо розгляд найпопулярнішої неокласичної моделі з її основних особливостей:

1. Виробничі функції Кобба-Дугласа враховує два фактори: праця і капітал.

2. Позитивно вбиває граничний продукт.

3. Постійна еластичність випуску, рівна b для L і c для K.

4. Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд: Q = a * Lb * Kc.

5. Постійний ефект масштабу, рівний сумі b та c.

Історична інформація

В основі будь-якої економічної теорії лежать фактори виробництва. Виробнича функція Кобба-Дугласа розглядає два з чотирьох основних: праця і капітал. На сьогоднішній день для кожного підприємства можна придумати її окремі приклади. Рішення виробничих функцій Кобба-Дугласа не відбулося без робіт Кната Вікселла (1851-1926). Саме він вперше сконструював дану модель. Чарльз Кобб і Пол Дуглас, іменами яких вона була пізніше названа, тільки протестували її на практиці. У 1928 році в світ вийшла їхня книга, в якій описувалося економічне зростання США в 1899-1922 рр. Вчені пояснювали його за допомогою двох факторів: використаних трудових ресурсів та інвестованих капітальних. Звичайно ж, на економічне зростання впливає безліч інших параметрів, але статистика довела, що вирішальними є все ж ті два, які і виділив Кнат Вікселл.

За словами Пола Дугласа, перше формулювання функції з 'явилося в 1927 році. У цей час він намагався вивести математичний вираз зв 'язку між робітниками і капіталом. Він звернувся до свого колеги Чарльза Кобба. Останньому і вдалося вивести сучасне рівняння, яке, як виявилося, раніше використовував у своїх роботах Кнат Вікселл. За допомогою методу найменших квадратів вченим вдалося вивести експоненту праці (0,75). Її значення було підтверджено даними Національного бюро економічних досліджень. У 40-х роках минулого століття вчені відійшли від констант і заявили, що експоненти можуть змінюватися з плином часу.

Припущення моделі

Якщо обсяг випуску є похідним від двох факторів (праці та капіталу), то еластичність всієї функції залежатиме від граничної продуктивності кожного з них. Таким чином, Кобб і Дуглас побудували свою модель на наступних припущеннях:

• Виробництво не може тривати за відсутності одного з факторів. Праця і капітал не є суб￨2 ами, які можуть замінити один одного в процесі випуску. Додаткові пилки не можуть створити стільці без участі теслярів.
• Гранична продуктивність кожного з факторів пропорційна обсягу випуску на його одиницю.

Еластичність випуску

Очевидно, що зменшення обсягу використовуваних матеріалів призводить до скорочення обсягу продуктів. Виробнича функція Кобба-Дугласа має справу з маргінальним випуском. Еластичність в економіці - це відсоток зміни значення одного показника у відповідь на зменшення або збільшення іншого, пов 'язаного з ним. Виробнича функція Кобба-Дугласа передбачає, що b і c - константи. Якщо b дорівнює 0,2 і кількість робітників збільшиться на 10%, то випуск стане більше на 2%.

Ефект масштабу

Для реального збільшення випуску обсяг використовуваних факторів виробництва повинен зростати пропорційно. Якщо так і відбувається, то ми говоримо, що ми використовуємо ефект масштабу. Виробнича функція Кобба-Дугласа, властивості якої ми вже розглянули, враховує його. Якщо b + c = 1, то це означає, що ми маємо справу з постійним ефектом масштабу, > 1 - збільшується, < 1 - зменшується.

Тимчасовий фактор

Модель виробничої функції Кобба-Дугласа часто використовується для опису середньо- і довгострокової перспективи. Очевидно, що часто найняти нових людей набагато простіше, ніж збільшити обсяг капітальних ресурсів. Тому деякі економісти стверджують, що проста лінійна модель якнайкраще підходить для опису коротких часових періодів роботи підприємства. Фірмі належить певний розмір приміщення, обмежене число верстатів, що можна змінити тільки за допомогою довгострокового планування. Період часу, який необхідний для нього, може змінюватися від одного підприємства до іншого, як і еластичність виробничої функції Кобба-Дугласа.

Проблеми застосування

Незважаючи на те що двофакторна виробнича функція отримала широке поширення і була перевірена Коббом і Дугласом статистично, частина економістів все одно сумнівається в її точності в різних галузях і часових періодах. Головним допущенням даної моделі є сталість еластичності праці і капіталу в розвинених країнах. Однак чи так це насправді? Ні Кобб, ні Дуглас не надали теоретичних підґрунтя для його існування. Сталість коефіцієнтів b і c значно спрощує розрахунки, і на цьому все. При цьому вчені нічого не сенсили в інжинірингу, технологіях і менеджменті виробничого процесу. До того ж можливість її застосування на мікрорівні не говорить про її правильність в умовах макроекономіки, і навпаки.

Критика переслідувала виробничу функцію Кобба-Дугласа з самої її появи в 1928 році. Спочатку це так засмутило вчених, що вони хотіли кинути роботу над нею. Але потім вони вирішили продовжити. У 1947 році Дуглас виступив з новими підтвердженнями її правильності в якості президента Американської економічної асоціації. Вченому не вдалося продовжити роботу над нею через проблеми зі здоров 'ям. Надалі виробничу функцію вдосконалили Пол Самуельсон і Роберт Солоу, назавжди змінивши уявлення про вивчення макроекономіки.

На сьогоднішній день виробнича функція Кобба-Дугласа є однією з найважливіших концепцій. Вона описує зв 'язок між вкладеними факторами і отриманим результатом. На відміну від простих лінійних моделей, які годяться тільки для опису короткого періоду життєдіяльності підприємства, вона може використовуватися для довгострокового планування. Однак не можна забувати про низку припущень і проблем, з якими пов 'язано її застосування.