Вища математика: площина у просторі

Другим після прямої важливим елементом просторової геометрії є площина. Вміння описувати її рівнянням дає можливість обчислення просторових кутів і висот для різних об 'ємних фігур. У цій статті наведемо всі види рівнянь, які описують площину у просторі. Також розглянемо можливі варіанти взаємного розташування площин.

Геометричне поняття про площину

У феєрній геометрії площина не розглядається, оскільки всі завдання вирішуються тільки в координатах x і y. Коли ж ми додаємо третю координатну вісь z, то площина стає важливим геометричним елементом.

Під поняттям "площина" розуміють сукупність точок, будь-які дві з яких якщо з 'єднати, то отриманий вектор буде завжди перпендикулярний деякому заданому вектору. Цей вказаний вектор називається нормаллю. Нормаль відіграє важливу роль при чисельному описі площини, а її властивості використовуються для вирішення різних завдань.

Малюнок нижче показує три площини в просторі (сині), які перетинає четверта (червона).

Загальне рівняння

Вказане вище визначення допоможе отримати рівняння для площини в просторі в координатах. Припустимо, що існує певна точка з відомими координатами Q (x0; y0; z0). Відомо, що вона лежить в деякій площині, нормаль до якої дорівнює n¯ (A; B; C). Припустимо тепер, що довільна точка M (x; y; z) також належить цій площині. Останнє означає, що вектори QM¯ і n¯ будуть перпендикулярні, тобто їх скалярний твір зануляється. Тому можна записати таку рівність:

(QM¯*n¯) = 0.

Підставляємо в нього координати і розкриваємо дужки, приходимо до рівняння:

(x-x0)*A + (y-y0)*B +(z-z0)*C = 0 =>

A*x + B*y + C*z + D = 0, где D = -1*(A*x0 + B*y0 + C*z0).

Отримане рівняння для площини називається загальним. Воно має таку ж форму, що і загальне для прямої рівняння на площині. Видно, що коефіцієнти, які стоять перед змінними x, y і z являють собою не що інше, як координати перпендикулярного площини вектора. Він називається напрямним.

Зазначимо, що якщо при отриманні загального рівняння конкретна точка Q невідома, а є тільки напрямний вектор n¯, тоді ми приходимо до рівняння для сукупності паралельних площин, що відрізняються тільки параметром D.

Рівняння у відрізках

При зображенні площин у просторі, коли задані конкретні осі координат, найпростіше вести геометричні побудови, якщо відомі точки, де площина перетинає ці осі. Вираз, який дає змогу дізнатися значення координат перетину площини з осями x, y і z, називається рівнянням у відрізках. Його можна отримати, провівши деякі математичні перетворення з рівнянням загального типу.

Припустимо, що відомо таке рівняння:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Перенесемо вільний член D у праву частину рівності, а потім поділимо обидві частини рівняння так, щоб праворуч вийшла одиниця. Маємо:

A*x + B*y + C*z = -D =>

x/( -D/A) + y/( -D/B) + z/( -D/C) = 1 або

x/p + y/q + z/r = 1, где p = -D/A, q = -D/B, r = -D/C.

Отриманий вираз називається в відрізках рівнянням, причому відсікаються на осях x, y і z довжини відрізків, починаючи з точки (0; 0; 0), мають значення p, q і r відповідно. Це можна перевірити наступним чином: якщо покласти, що координати по осі y і z дорівнюють нулю, тоді x виходить рівний q. Тобто точка перетину з віссю абсцис має координати (p; 0; 0). Подібно розмірковуючи, отримуємо решту двох координат (0; q; 0) і (0; 0; r).

Рівняння параметричного векторного векторного

Це третій важливий вид рівняння, який також часто використовується при вирішенні завдань. Вище було показано, що площина однозначно задається точкою і нормальним вектором. Однак ви можете визначити цей геометричний об 'єкт.

Припустимо, що є два компланарних вектори, які не паралельні один одному. Позначимо їх u¯ (a1; b1; c1) і v¯ (a2; b2; c2). Також відома точка Q (x0; y0; z0). Яким буде рівняння площини, яка проходить через цю точку і два вектори?

Відповісти на це запитання можна, отримавши рівняння в загальному вигляді. Однак вирішимо це завдання іншим способом. Згадаймо, що будь-який вектор площини може бути розкладений на два інших компланарних вектори, які також належать цій площині. Це означає, що довільний вектор QP¯, де P (x; y; z), може бути представлений у вигляді:

QP¯ = α*u¯ + β*v¯.

Пробігаючи всі точки P площини, ми отримаємо відповідні параметри. Вирівнювання для площини називається параметричним векторним. Його записують часто в координатному вигляді:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a1; b1; c1) + β*(a2; b2; c2).

Видно, що ця форма запису площини аналогічна векторному рівнянню для прямої в орному і тривимірному випадках.

Цей вираз також можна записати більш явно, якщо розділити змінні:

x = x0 + α*a1 + β*a2;

y = y0 + α*b1 + β*b2;

z = z0 + α*c1 + β*c2.

Ці три рівняння мають форму подібну до параметричного рівняння для прямої у просторі. Цей вид часто використовується для перетворення векторного рівняння на загальну площину.

Паралельні площини

Існує лише два варіанти відносного положення двох площин у просторі. У цьому пункті статті наведемо умову, коли вони паралельні.

Якщо два рівняння площини дано в загальному вигляді, то визначити паралельність їх досить просто. Дві площини будуть паралельні, якщо їх вектори напрямні такими є. Припустимо, що є два рівняння:

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;

A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.

Перпендикулярні до кожної з площин вектора мають координати:

n1¯ (A1; B1; C1);

n2¯ (A2; B2; C2).

Якщо вектор n1¯ можна уявити у вигляді множення на дійсне число вектора n2¯, тоді обидва вони будуть паралельні, тобто:

N2¯ = l*n1¯, де l - дійсне число.

Інший спосіб визначення їх паралельності полягає в знаходженні косинуса кута між ними через скалярний твір і модулі векторів. Цей косинус повинен бути рівний одиниці, тоді вектори (площини) будуть паралельними. Відповідна формула має вигляд:

cos(φ) = |(n1¯*n2¯)|/(|n1¯|*|n2¯|) = 1.

Якщо ж рівняння площин у параметричній векторній формі дана, паралельність у просторі площин також визначається з умови паралельності нормалей до них. Щоб знайти напрямні вектора цих нормалів, слід взяти векторні твори, що утворюють кожну площину векторів.

Малюнок вище показує три площини, які один одному паралельні.

Перетин площин

Це другий варіант взаємного розташування в просторі площин. У цьому випадку дві площини перетинаються деякою прямою, яка їм належить. У даному випадку важливо вміти розраховувати двогранний кут цього перетину. Він завжди дорівнює куту між відповідними напрямними векторами, тобто між перпендикулярами площин.

У попередньому пункті вже була наведена формула, що дозволяє розрахувати кут між нормалями. Тут лише розкриємо її, записавши через координати векторів n1¯ і n2¯:

φ = arccos(|A1*A2+B1*B2+C1*C2|/(√(A12+B12+C12)*√(A22+B22+C22))).

Ця формула часто застосовується при обчисленні двогранних кутів між площинами піраміди або похилої призми.

Дві площини, які перетинають третю горизонтальну, наведені на малюнку вище.

Приватним випадком перетину двох площин є кут = 90o, тобто має місце перпендикулярність розглянутих геометричних об 'єктів. Для визначення перпендикулярності не обов 'язково проводити розрахунки кута за дещо громіздкою формулою вище, для цього буде достатнім розрахувати значення скалярного твору і . Для перпендикулярних площин воно дорівнює нулю, тобто:

(n1¯*n2¯) = A1*A2+B1*B2+C1*C2 = 0.

Пучок площин

Якщо дві площини перетинаються, всі загальні точки лежать на одній прямій. Зазначимо, що одним із методів завдання прямою в просторі є система двох загальних рівнянь площини. Скільки в просторі площин можна провести через одну пряму? Нескінченне число. Їх сукупність називається пучком. Рівняння, яке описує цей пучок, має таку форму:

k1*(A1*x + B1*y + C1*z + D1) + k2*(A2*x + B2*y + C2*z + D2) = 0.

Тут k1 і k2 є довільними числами. Приватним випадком є ситуація, коли один або обидва параметри k не можуть приймати значення нуль. Припустимо, що k1 0, тоді рівняння пучка можна перезаписати у вигляді:

(A1*x + B1*y + C1*z + D1) + k2/k1*(A2*x + B2*y + C2*z + D2) = 0.

Ця рівність описує всі площини пучка крім однієї, що має напрямний вектор n2¯ (A2; B2; C2).

Прикладом пучка площин є сукупність аркушів відритої книги.

Далі вирішимо кілька геометричних завдань, застосовуючи отримані знання про властивості площин у просторі.

Перетворення параметричного векторного рівняння на загальне

Дано наступну площину рівняння в параметричному векторному вигляді:

(x; y; z) = (1; 2; 0) + α*(1; 2; 3) + β*(-1; 3; 0).

Необхідно записати його у вигляді загального рівняння площини в просторі.

Перепишемо його в явному вигляді:

x = 1 + α - β;

y = 2 + 2*α + 3*β;

z = 3*α.

З останнього виразу отримуємо порожній, потім підставляємо його в першу рівність і висловлюємо порожнечу. Знайдені параметри підставляємо в друге рівняння, маємо:

α = z/3;

β = 1 - x + z/3;

y = 2 + 2*z/3 + 3 - 3*x + z =>

y + 3*x +5/3*z - 5 = 0 =>

9*x + 3*y + 5*z -15 = 0.

Таким чином, щоб отримати загальне рівняння з векторної параметричної, слід спочатку записати її в явному вигляді, а потім виразити параметри через змінні координати.

Перетворення загального на параметричне векторне рівняння

Це завдання є повністю протилежним попередньому. Розгляньмо прийоми, що дозволяють її вирішити.

Дано наступне рівняння:

x-2*y+3*z -1 = 0.

Для початку слід висловити одну координату через дві інші. Виразимо для прикладу x:

x=2*y-3*z +1.

Це означає, що площині належатиме будь-яка точка, що має координати:

(2*y-3*z +1; y; z).

Тепер перепишемо цю координату у вигляді суми трьох векторів, причому перший буде містити тільки змінну y, другий - тільки z, а третій буде складатися виключно з чисел. Маємо:

(x; y; z) = (2*y; y; 0) + (-3*z; 0; z) +(1; 0; 0).

Видно, що, розкривши це рівняння, ми отримаємо загальні координати для точки площини. Тепер залишається тільки винести за дужки змінні в першому і другому векторах і переобізнати їх параметрами. Отримуємо:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; 1; 0) + β*(-3; 0; 1).

Ми отримали рівняння в параметричному векторному вигляді, аналогічне вихідному.

Зображення площини в системі координат

Завдання полягає в наступному: за відомим рівнянням слід зобразити площину в просторі. Відповідне рівняння має вигляд:

3*x - y -4*z +5 = 0.

Щоб зобразити цю площину, потрібно знайти точки, в яких вона перетинає осі координат. Для цього можна отримати відповідне рівняння у відрізках. Однак в даному випадку вчинимо інакше: покладемо дві координати рівними нулю і обчислимо третю. Маємо:

y = 0; z = 0; x = -5/3;

x = 0; z = 0; y = 5;

x = 0; y = 0; z = 5/4.

Залишається нанести отримані точки на осі координат і провести через них площину. Розташування площини в просторі зображено на малюнку нижче.

Три точки і площина

Нехай дані три точки в просторі:

M(1; -1; 3);

N(3; 2; -4);

L(2; 5; 0).

Необхідно знайти площину, яка через них проходить.

З геометрії відомо, що три точки, які не лежать на одній прямій, однозначно визначають площину. Її рівняння можна скласти, якщо знайти її вектор напрямний n¯. Він дорівнюватиме векторному твору копланарних векторів, що лежать у площині. Координати векторів можна отримати з координат точок, наприклад:

MN¯(2; 3; -7);

ML¯(1; 6; -3).

Їх векторний твір дасть вектор n¯. Обчислюючи його, отримуємо:

n¯(33; -1; 9).

Взявши для прикладу точку M, отримуємо загальне рівняння у вигляді:

33*x -y + 9*z - 61 = 0.

Можна підставити координати точок N і L в рівняння і переконатися, що рівність виконується.