Основною характеристикою моменту інерції є розподіл мас у тілі. Це скалярна величина, розрахунок якої залежить від величин елементарних мас і їх відстаней до базової безлічі.
Інструкція
1. Поняття моменту інерції пов 'язане з безліччю об' єктів, здатних обертатися навколо осі. Він показує, наскільки ці об 'єкти інертні під час обертання. Ця величина аналогічна масі тіла, що визначає його інертність при поступальному русі.
2. Момент інерції залежить не тільки від маси об 'єкта, але і його положення щодо осі обертання. Він дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно, що проходить через центр мас, і твору маси (площі перерізу) на квадрат відстані між нерухомою і дійсною осями:J = J0 + S·d².
3. При виведенні формул використовуються формули інтегрального обчислення, оскільки ця величина є сумою послідовності елементом, іншими словами, сумою числового ряду:J0 = ∫y²dF, де dF - площа перерізу елемента.
4. Спробуємо вивести момент інерції для найпростішої фігури, наприклад, вертикального прямокутника відносно осі ординат, що проходить через центр мас. Для цього подумки розіб 'ємо його на елементарні смужки шириною dy загальною тривалістю, рівною довжині фігури a. Тоді:J0 = ∫y²bdy на інтервалі [-a/2; a/2], b - ширина прямокутника.
5. Тепер нехай вісь обертання проходить не через центр прямокутника, а на відстані з від неї і паралельно їй. Тоді момент інерції дорівнюватиме сумі початкового моменту, знайденого на першому кроці, і твору маси (площі перерізу) на c :J = J0 + S·c².
6. Оскільки S = ∫bdy:J = ∫y²bdy + ∫c²bdy = ∫(y² + c²)bdy.
7. Обчислюємо момент інерції для тривимірної фігури, наприклад, кулі. У цьому випадку елементами виступають плоскі диски товщиною dh. Зробимо розбиття перпендикулярно осі обертання. Підрахуємо радіус кожного такого диска:r = √(R² – h²).
8. Маса такого диска буде дорівнювати p · ^ · r dh, як твір об "єму (dV = ^ · r dh) на щільність. Тоді момент інерції виглядає наступним чином:dJ = r dm = ^ · p · (R 4 - 2 * R * h + h 4) dh, звідки J = 2·∫dJ [0; R] = 2/5·m·R².