Метод Гаусса є одним з основних принципів вирішення системи лінійних рівнянь. Його перевага полягає в тому, що вона не вимагає квадратичності вихідної матриці або ж попереднього розрахунку її визначника.
Вам знадобиться
- Підручник з вищої математики.
Інструкція
1. Отже у вас є система лінійних алгебраїчних рівнянь. Цей метод складається з двох основних ходів - прямого і зворотного.
2. Прямий хід:Запишіть систему в матричному вигляді. Складіть розширену матрицю та приведіть її до ступеневого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків. Варто нагадати, що матриця має ступеневий вигляд, якщо виконуються наступні дві умови: Якщо якийсь рядок матриці нульовий, то всі наступні рядки теж є нульовими; Опорний елемент кожного наступного рядка знаходиться правіше, ніж у попередньому рядку. Елементарним перетворенням рядків називають дії наступних трьох типів:1) перестановка місцями будь-яких двох рядків матрици.2) заміна будь-якого рядка сумою цього рядка з будь-якого іншого, попередньо помноженого на деякий число.3) множення будь-якого рядка на відмінне від нуля число. Визначте ранг розширеної матриці і зробіть висновок про сумісність системи. Якщо ранг матриця А не збігається з рангом розширеної матриці, то система не спільна і відповідно не має рішення. Якщо ж ранги не збігаються, то система спільна, і продовжуйте пошук рішень.
3. Зворотній хід:Оголосіть базисними невідомими ті, номери яких збігаються з номерами базисних стовпчиків матриці А (її ступеневого вигляду), а решту змінних вважатимете вільними. Кількість вільних невідомих обчислюємо за формулою k = n-r (A), де n-число невідомих, r (A) -ранг матриця А.Далеї поверніться до ступеневої матриці. Приведіть її до вигляду Гаусса. Нагадаємо, що ступінчата матриця має вигляд Гаусса, якщо всі опорні елементи її рівні одиниці, а над опорними елементами одні нулі. Запишіть систему алгебраїчних рівнянь, яка відповідає матриці виду Гаусса, позначивши вільні невідомі як C1,..., Ck.На наступному кроці виразите з отриманої системи базисні невідомі через вільні.
4. Запишіть відповідь у векторному або покоординатному вигляді.