Стереометрія - розділ геометрії, що вивчає фігури, які не лежать в одній площині. Одним з об'єктів вивчення стереометрії є призми. У статті дамо визначення призмі з геометричної точки зору, а також коротко перелічимо властивості, які для неї характерні.
Геометрична фігура
Визначення призми в геометрії звучить наступним чином: це просторова фігура, що складається з двох однакових n-вугільників, розташованих в паралельних площинах, поєднаних один з одним своїми вершинами.
Отримати призму не представляє ніяких труднощів. Уявімо, що є два однакових n-вугільники, де n - це число сторін або вершин. Помістимо їх так, щоб вони були один одному паралельні. Після цього вершини одного багатокутника слід з'єднати з відповідними вершинами іншого. Утворена фігура буде складатися з двох n-вугільних сторін, які називаються підставами, і n чотирикутних сторін, що представляють собою в загальному випадку паралелограми. Сукупність паралелограмів утворює бічну поверхню фігури.
Існує ще один спосіб геометричного отримання розглянутої фігури. Так, якщо взяти n-вугільник і зробити його перенесення в іншу площину за допомогою паралельних відрізків рівної довжини, то в новій площині ми отримаємо вихідний багатокутник. Обидва багатокутники і всі паралельні відрізки, проведені з їх вершин, утворюють призму.
Малюнок вище демонструє трикутну призму. Так вона називається тому, що її підстави являють собою трикутники.
Елементи, з яких складається фігура
Вище було дано визначення призми, з якого зрозуміло, що головними елементами фігури є її межі або сторони, що обмежують всі внутрішні точки призми від зовнішнього простору. Будь-яка межа розглянутої фігури належить до одного з двох типів:
- бічна;
- підстави.
Бічних n штук, і вони є паралелограмами або їх приватними видами (прямокутниками, квадратами). У загальному випадку бічні грані відрізняються один від одного. Граней основи всього дві, вони являють собою n-вугільники і один одному рівні. Таким чином, всяка призма має n + 2 сторони.
Крім сторін, фігура характеризується своїми вершинами. Вони являють собою точки, де стикаються одночасно три грані. Причому дві з трьох граней завжди належать бічній поверхні, а одна - основі. Таким чином, в призмі немає спеціально виділеної однієї вершини, як, наприклад, в піраміді, всі вони є рівноправними. Число вершин фігури дорівнює 2 * n (n штук для кожної основи).
Нарешті, третім важливим елементом призми є її ребра. Це відрізки певної довжини, які утворюються в результаті перетину сторін фігури. Як і грані, ребра також мають два різних типи:
- або утворені тільки бічними сторонами;
- або виникають на стику паралелограма і сторони n-вугільної основи.
Число ребер, таким чином, дорівнює 3 * n, причому 2 * n з них відносяться до другого з названих типів.
Види призм
Виділяють кілька способів класифікації призм. Однак всі вони засновані на двох особливостях фігури:
- на типі n-вугільної основи;
- на типі бокової сторони.
Для початку звернемося до другої особливості і дамо визначення призми похилої і прямої. Якщо хоча б одна бокова сторона є паралелограмом загального типу, то фігура називається похилою, або косокутною. Якщо ж всі паралелограми являють собою прямокутники або квадрати, то призма буде прямою.
Дати визначення призми прямої можна також дещо інакше: пряма фігура - це та призма, у якої бічні ребра і грані перпендикулярні її підставам. На зображенні показано дві чотирикутні фігури. Ліва є прямою, права - похилою.
Тепер перейдемо до класифікації згідно типу n-вугільника, що лежить у підставах. Він може мати однакові сторони і кути або різні. У першому випадку багатокутник називається правильним. Якщо розглянута фігура містить багатокутник з рівними сторонами і кутами і є прямою, то вона називається правильною. Згідно з цим визначенням, правильна призма в підставі може мати рівносторонній трикутник, квадрат, правильний п'ятикутник або шестикутник тощо. Перелічені правильні фігури представлені на малюнку.
Лінійні параметри призм
Для опису розмірів розглянутих фігур використовуються такі параметри:
- висота;
- сторони заснування;
- довжини бічних ребер;
- об'ємні діагоналі;
- діагоналі бокових сторін і підстав.
Для правильних призм всі названі величини пов'язані один з одним. Наприклад, довжини бічних ребер однакові і рівні висоті. Для конкретної n-вугільної правильної фігури існують формули, що дозволяють за двома будь-якими лінійними параметрами визначити всі інші.
Поверхня фігури
Якщо звернутися до цього вище визначення призми, то зрозуміти, що представляє поверхню фігури, буде нескладно. Поверхня - це площа всіх граней. Для прямої призми вона обчислюється за формулою:
S = 2*So + Po*h
де So - площа основи, Po - периметр n-вугільника в підставі, h - висота (відстань між підставами).
Обсяг фігури
Поряд з поверхнею для практики важливо знати обсяг призми. Визначити його можна за такою формулою:
V = So*h
Цей вираз справедливий для абсолютно будь-якого виду призм, включаючи ті, які є похилими і утворені неправильними багатокутниками.
Для правильних призм обсяг є функцією довжини сторони заснування і висоти фігури. Для відповідної n-вугільної призми формула для V має конкретний вигляд.