Похила призма та її обсяг. Приклад вирішення завдання

Похила призма та її обсяг. Приклад вирішення завдання

Вміння визначати обсяг просторових фігур є важливим для вирішення геометричних і практичних завдань. Однією з таких фігур є призма. Розгляньмо в статті, що вона собою являє, і покажемо, як обчислювати обсяг похилої призми.

Що розуміють під призмою в геометрії?

Йдеться про правильний поліедр (багатогранник), який утворений двома однаковими підставами, що знаходяться в паралельних площинах, і кількома паралелограмами, що з'єднують зазначені підстави.

Підставами призми можуть бути довільні багатокутники, наприклад, трикутник, чотирикутник, семикутник тощо. Причому кількість кутів (сторін) багатокутника визначає назву фігури.

Будь-яка призма, що має в основі n-вугільник (n - число сторін), складається з n + 2 граней, 2 n вершин і 3 n ребер. З наведених чисел видно, що кількості елементів призми відповідають теоремі Ейлера:

3 × n = 2 × n + n + 2 - 2

Нижче малюнок показує, як виглядають трикутні і чотирикутні призми, зроблені зі скла.

Види фігури. Похила призма

Вище вже було сказано, що назва призми визначається числом сторін багатокутника в підставі. Однак існують й інші особливості в її будові, що визначають властивості фігури. Так, якщо всі паралелограми, що утворюють бічну поверхню призми, представлені прямокутниками або квадратами, то така фігура називається прямою. Для прямої призми відстань між підставами дорівнює довжині бокового ребра будь-якого прямокутника.

Якщо ж деякі або всі бокові сторони є паралелограмами, то мова йде про похилий призм. Висота її вже буде меншою, ніж довжина бічного ребра.


Ще один критерій, за яким проводять класифікацію розглянутих фігур - це довжини сторін і кути багатокутника в підставі. Якщо вони рівні один одному, то багатокутник буде правильним. Пряма фігура з правильним багатокутником в підставах називається правильною. З нею зручно працювати при визначенні площі поверхні та об'єму. Похила призма в цьому плані представляє деякі труднощі.

На наведеному малюнку показано дві призми, що мають чотирикутну основу. Кут 90 ° показує принципову різницю між прямою і похилою призмою.

Формула для визначення об'єму фігури

Частина простору, обмежена гранями призми, називається її обсягом. Для таких фігур будь-якого типу цю величину можна визначити за такою формулою:

V = h × So

Тут символом h позначена висота призми, яка є мірою дистанції між двома підставами. Символ So - одна основа площі.

Площу основи знайти нескладно. Враховуючи той факт, є правильним багатокутник чи ні, а також знаючи кількість його сторін, слід застосувати відповідну формулу і отримати So. Наприклад, для правильного n-вугільника з довжиною боку a площа буде рівна:

Sn = n / 4 × a2 × ctg (pi / n)


Тепер перейдемо до висоти h. Для прямої призми визначення висоти не становить жодних труднощів, однак для призми похилої - це непросте завдання. Вирішувати її можна різними геометричними методами, відштовхуючись від конкретних початкових умов. Проте існує універсальний спосіб визначення висоти фігури. Опишемо його коротко.

Ідея полягає в знаходженні відстані від точки в просторі до площини. Припустімо, що площина вказана рівнянням:

A × x+ B × y + C × z + D = 0

Тоді від точки з координатами (x1; y1; z1) площина знаходитиметься на відстані:

h = |A × x1 + B × y1 + C × z1 + D| / √ (A2 + B2 + C2)


Якщо координатні осі розташувати так, що точка (0; 0; 0) лежатиме в площині нижньої основи призми, тоді рівняння для площини основи можна записати так:

z = 0

Це означає, що формула для висоти запишеться так:

h = z1

Достатньо знайти координату z будь-якої точки верхньої основи, щоб визначити висоту фігури.


Приклад вирішення завдання

На малюнку нижче дана чотирикутна призма. Підставою похилої призми є квадрат зі стороною 10 см. Необхідно обчислити її об'єм, якщо відомо, що довжина бічного ребра дорівнює 15 см, а гострий кут фронтального паралелограма дорівнює 70 °.

Оскільки висота h фігури також є висотою паралелограма, то використовуємо формули для визначення його площі, щоб знайти h. Позначимо сторони паралелограма так:

a = 10 см;

b = 15 см

Ви можете записати такі формули для визначення площі Sp:


Sp = a × b × sin (α);

Sp = a × h

Звідки отримуємо:

h = b × sin (α)

Тут - гострий кут паралелограма. Оскільки підставою є квадрат, то формула обсягу похилої призми прийме вигляд:

V = a2 × b × sin (α)

Підставляємо з умови дані у формулу і отримуємо відповідь: V ≅ 1410 см3.