Чотирикутна призма: висота, діагональ, площа

У шкільному курсі стереометрії однією з найпростіших фігур, яка має не нульові розміри вздовж трьох просторових осей, є чотирикутна призма. Розгляньмо в статті, що це за фігура, з яких елементів вона складається, а також як можна розрахувати площу її поверхні і об'єм.

Поняття про призму

У геометрії призмою вважають просторову фігуру, яка утворена двома однаковими підставами і бічними поверхнями, які з'єднують сторони цих підстав. Зазначимо, що обидві підстави переходять одна в одну за допомогою операції паралельного перенесення на деякий вектор. Таке завдання призми призводить до того, що всі її бокові сторони завжди є паралелограмами.

Кількість сторін підстави може бути довільною, починаючи від трьох. При прагненні цього числа до нескінченності, призма плавно переходить в циліндр, оскільки її основа стає колом, а бічні паралелограми, з'єднуючись, утворюють циліндричну поверхню.

Як і будь-який поліедр, призма характеризується сторонами (площини, які обмежують фігуру), ребрами (відрізки, за якими перетинаються дві будь-які сторони) і вершинами (точки зустрічі трьох сторін, для призми дві з них є бічними, а третя - підставою). Кількість названих трьох елементів фігури пов'язана між собою наступним виразом:

Р = С + В - 2

Тут Р, С і В - це число ребер, сторін і вершин, відповідно. Цей вислів є математичним записом теореми Ейлера.

Вище наведено малюнок, де показано дві призми. В основі однієї з них (A) лежить правильний шестикутник, і сторони бічні перпендикулярни підставам. Малюнок B демонструє іншу призму. Її бічні сторони вже не перпендикулярні підставам, а підстава являє собою правильний п'ятикутник.

Що таке призма чотирикутна?

Як зрозуміло з опису вище, тип призми в першу чергу визначається видом багатокутника, який утворює основу (обидві підстави однакові, тому мова можна вести про один з них). Якщо цим багатокутником є паралелограм, то ми отримуємо чотирикутну призму. Таким чином, всі сторони цього виду призми є паралелограмами. Чотирикутна призма має власну назву - паралелепіпед.

Кількість сторін паралелепіпеда дорівнює шести, причому кожна сторона має аналогічну паралельну їй. Оскільки підстави паралелепіпеда - це дві сторони, то решта чотири є бічними.

Кількість вершин паралелепіпеда дорівнює восьми, у чому легко переконатися, якщо згадати, що вершини призми утворюються тільки на вершинах базових багатокутників (4х2 = 8). Застосовуючи теорему Ейлера, отримуємо число ребер:

Р = С + В - 2 = 6 + 8 - 2 = 12

З 12-ти ребер, тільки 4 утворені самостійно бічними сторонами. Решта 8 лежать у площинах підстав фігури.

Далі в статті йтиметься тільки про чотирикутні призми.

Види паралелепіпедів

Перший тип класифікації полягає в особливості паралелограма, що лежить у підставі. Він може бути наступного виду:

• ^{звичайний, у якого кути не рівні 90o;}
• прямокутник;
• квадрат - правильний чотирикутник.

Другий тип класифікації полягає у вугіллі, при якому бокова сторона перетинає основу. Тут можливо два різних випадки:

• цей кут не є прямим, тоді призму називають косокутною або похилою;
• ^{кут дорівнює 90o, тоді така призма є прямокутною або просто прямою.}

Третій тип класифікації пов'язаний з висотою призми. Якщо призма є прямокутною, і в основі лежить або квадрат, або прямокутник, тоді її називають прямокутним паралелепіпедом. Якщо ж у підставі знаходиться квадрат, призма є прямокутною, а її висота дорівнює довжині сторони квадрата, то ми отримуємо всім відому фігуру куб.

Поверхня призми та її площа

Сукупність всіх точок, які лежать на двох підставах призми (паралелограмах) і на її бічних сторонах (чотири паралелограми), утворюють поверхню фігури. Площа цієї поверхні може бути обчислена, якщо розрахувати площу основи і цю величину для бічної поверхні. Тоді їх сума дасть шукане значення. Математично це записується так:

S = 2*So + Sb

Тут So і Sb - площа основи і бічної поверхні, відповідно. Цифра 2 перед So з'являється на увазі того, що підстав дві.

Зазначимо, що записана формула справедлива для будь-якої призми, а не тільки для площі чотирикутної призми.

Корисно нагадати, що площа паралелограма Sp обчислюється за формулою:

Sp = a*h

Де символи a і h позначають довжину однієї з його сторін і висоту, проведену до цієї сторони, відповідно.

Площа прямокутної призми з квадратною основою

У правильній чотирикутній призмі підстава являє собою квадрат. Позначимо для визначеності його сторону буквою a. Щоб розрахувати площу правильної чотирикутної призми, слід знати її висоту. Згідно з визначенням для цієї величини, вона дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з однієї підстави на іншу, тобто дорівнює відстані між ними. Позначимо її буквою h. Оскільки всі бічні грані перпендикулярні підставам для розглянутого типу призми, то висота правильної чотирикутної призми дорівнюватиме довжині її бокового ребра.

У загальній формулі для площі поверхні призми стоїть два доданки. Площа основи в даному випадку розрахувати просто, вона дорівнює:

So = a2

Щоб обчислити площу бічної поверхні, розмірковуємо наступним чином: ця поверхня утворена 4-ма однаковими прямокутниками. Причому сторони кожного з них рівні a і h. Це означає, що площа Sb буде рівна:

Sb = 4*a*h

Зауважимо, що твір 4 * a - це периметр квадратної основи. Якщо узагальнити цей вираз на випадок довільної підстави, тоді для прямокутної призми бічну поверхню можна розрахувати так:

Sb = Po*h

Де Po - периметр основи.

Повертаючись до завдання розрахунку площі правильної чотирикутної призми, можна записати підсумкову формулу:

S = 2*So + Sb = 2*a2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Площа косокутного паралелепіпеда

Обчислити її трохи складніше, ніж для прямокутного. У цьому випадку площа основи чотирикутної призми обчислюється за тією ж формулою, що і для паралелограма. Зміни стосуються способу визначення площі бічної поверхні.

Для цього використовується та ж формула через периметр, що наведена в пункті вище. Тільки тепер у ній з'являться дещо інші множники. Загальна формула для Sb у разі косокутної призми має вигляд:

Sb = Psr*c

Тут з - це довжина бічного ребра фігури. Величина Psr є периметром прямокутного зрізу. Будується це середовище наступним чином: необхідно площиною перетнути всі бічні грані таким чином, щоб вона була перпендикулярна всім ім. утворений прямокутник і буде шуканим зрізом.

На малюнку вище наведено приклад косокутного паралелепіпеда. Заштрихований його переріз з бічними сторонами утворює прямі кути. Периметр перерізу дорівнює Psr. Він утворений чотирма висотами бічних паралелограмів. Для цієї чотирикутної призми площа бічної поверхні розраховується за вказаною вище формулою.

Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда

Діагональ паралелепіпеда - це відрізок, який з'єднує дві вершини, що не мають спільних сторін, які їх утворюють. У будь-якій чотирикутній призмі діагоналей всього чотири. Для прямокутного паралелепіпеда, в основі якого розташований прямокутник, довжини всіх діагоналей дорівнюють один одному.

Нижче на малюнку наведено відповідну фігуру. Червоний відрізок є її діагоналлю.

Розрахувати її довжину дуже просто, якщо згадати про теорему Піфагора. Кожен школяр може отримати шукану формулу. Вона має наступну форму:

D = √(A2 + B2 + C2)

Тут D - довжина діагоналі. Решта символів - це довжини сторін паралелепіпеда.

Багато хто плутає діагональ паралелепіпеда з діагоналями його сторін. Нижче наводиться малюнок, де кольоровими відрізками зображені діагоналі сторін фігури.

Довжина кожної з них також визначається за теоремою Піфагора і дорівнює квадратному кореню з суми квадратів відповідних довжин сторін.

Обсяг призми

Крім площі правильної чотирикутної призми або інших видів призм, для вирішення деяких геометричних завдань слід знати і їх обсяг. Ця величина для абсолютно будь-якої призми обчислюється за такою формулою:

V = So*h

Якщо призма є прямокутною, тоді достатньо обчислити площу її основи і помножити її на довжину ребра бокової сторони, щоб отримати обсяг фігури.

Якщо призма є правильною чотирикутною, тоді її обсяг дорівнюватиме:

V = a2 *h.

Легко бачити, що ця формула перетворюється на вираз для обсягу куба, якщо довжина бічного ребра h дорівнює стороні основи a.

Завдання з прямокутним паралелепіпедом

Для закріплення вивченого матеріалу вирішимо наступне завдання: є прямокутний паралелепіпед, сторони якого дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см. Необхідно розрахувати площу його поверхні, довжину діагоналі і об'єм.

Для визначеності будемо вважати, що підставою фігури є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см. Тоді його площа дорівнює 12 см2, а період становить 14 см. Використовуючи формулу для площі поверхні призми, отримуємо:

S = 2*So + Sb = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 см2

Для визначення довжини діагоналі та об'єму фігури можна безпосередньо скористатися наведеними вище виразами:

D = ^ (32 + 42 + 52) = 7,071 см;

V = 3 * 4 * 5 = 60 см3.

Завдання з косокутним паралелепіпедом

Нижче на малюнку зображена косокутна призма. Її сторони рівні: a = 10 см, b = 8 см, з = 12 см. Необхідно знайти площу поверхні цієї фігури.

Спочатку визначимо площу основи. З малюнка видно, що гострий кут дорівнює 50o. Тоді його площа дорівнює:

So = h*a = sin(50o)*b*a

Для визначення площі бічної поверхні, слід знайти периметр заштрихованого прямокутника. Сторони цього прямокутника дорівнюють a * sin (45o) і b * sin (60o). Тоді периметр цього прямокутника дорівнює:

Psr = 2*(a*sin(45o)+b*sin(60o))

Повна площа поверхні цього паралелепіпеда дорівнює:

S = 2*So + Sb = 2*(sin(50o)*b*a + a*c*sin(45o) + b*c*sin(60o))

Підставляємо дані з умови завдання для довжин сторін фігури, отримуємо відповідь:

S = 458,5496 см3

З вирішення цього завдання видно, що для визначення площ косокутних фігур використовуються тригонометричні функції.