Теорія ймовірності незримо присутня в нашому житті. Ми не звертаємо на це уваги, але кожна подія в нашому житті має ту чи іншу ймовірність. Беручи до уваги величезну кількість варіантів розвитку подій, нам стає необхідним визначати найбільш вірогідні і найменш ймовірні з них. Найбільш зручно аналізувати такі ймовірнісні дані графічно. У цьому нам може допомогти розподіл. Біноміальне - одне з найлегших і найточніших.
Перш ніж перейти безпосередньо до математики і теорії ймовірності, розберемося з тим, хто ж перший придумав такий вид розподілу і яка історія розвитку математичного апарату для цього поняття.
Історія
Поняття ймовірності відомо ще з давніх часів. Однак стародавні математики не надавали їй особливо значення і змогли закласти тільки основи для теорії, що стала згодом теорією ймовірності. Вони створили деякі комбінаторні методи, які сильно допомогли тим, хто пізніше створив і розвинув саму теорію.
У другій половині сімнадцятого століття почалося формування основних понять і методів теорії ймовірності. Були введені визначення випадкових величин, способи обчислення ймовірності простих і деяких складних незалежних і залежних подій. Продиктований такий інтерес до випадкових величин і ймовірностей був азартними іграми: кожна людина хотіла знати, які у неї шанси перемогти в грі.
Наступним етапом стало застосування в теорії ймовірності методів математичного аналізу. Цим зайнялися видатні математики, такі як Лаплас, Гаусс, Пуассон і Бернуллі. Саме вони просунули цю область математики на новий рівень. Саме Джеймс Бернуллі відкрив біноміальний закон розподілу. До речі, як ми пізніше з 'ясуємо, на основі цього відкриття були зроблені ще кілька, які дозволили створити закон нормального розподілу і ще безліч інших.
Зараз, перш ніж почати описувати розподіл біноміальний, ми трохи освіжимо в пам 'яті поняття теорії ймовірностей, напевно вже забуті зі шкільної лави.
Основи теорії ймовірностей
Будемо розглядати такі системи, в результаті дії яких можливі тільки два результати: "" успіх "" і "" не успіх "". Це легко зрозуміти на прикладі: ми підкидаємо монетку, загадавши те, що випаде решка. Ймовірності кожної з можливих подій (випаде решка - "" успіх "", випаде орел - "" не успіх "") дорівнюють 50 відсоткам при ідеальному балансуванні монети і відсутності інших факторів, які можуть вплинути на експеримент.
Це була найпростіша подія. Але бувають ще й складні системи, в яких виконуються послідовні дії, і ймовірності результатів цих дій будуть відрізнятися. Наприклад, розглянемо таку систему: у коробці, вміст якої ми не можемо розгледіти, лежать шість абсолютно однакових кульок, три пари синього, червоного і білого кольорів. Ми повинні дістати навмання кілька кульок. Відповідно, витягнувши першим один з білих кульок, ми зменшимо в рази ймовірність того, що наступним нам теж попадеться біла кулька. Відбувається це тому, що змінюється кількість об 'єктів у системі.
У наступному розділі розгляньмо більш складні математичні поняття, які впритул підводять нас до того, що означають слова "" нормальний розподіл "", біноміальний розподіл "" тощо.
Елементи математичної статистики
У статистиці, яка є однією з областей застосування теорії ймовірностей, існує безліч прикладів, коли дані для аналізу дані не в явному вигляді. Тобто не в чисельному, а у вигляді поділу за ознаками, наприклад, за статевими. Для того щоб застосувати до таких даних математичний апарат і зробити з отриманих результатів якісь висновки, потрібно перевести вихідні дані в числовий формат. Як правило, для здійснення цього позитивному результату присвоюють значення 1, а від 'ємному - 0. Таким чином, ми отримуємо статистичні дані, які можна піддати аналізу за допомогою математичних методів.
Наступний крок у розумінні того, що таке біноміальний розподіл випадкової величини, - це визначення дисперсії випадкової величини і математичного очікування. Про це поговоримо в наступному розділі.
Математичне очікування
Насправді зрозуміти те, що таке математичне очікування, нескладно. Розгляньмо систему, в якій існує багато різних подій зі своїми різними ймовірностями. Математичним очікуванням буде називатися величина, рівна сумі творів значень цих подій (а математичному вигляді, про який ми говорили в минулому розділі) на ймовірності їх здійснення.
Математичне очікування біноміального розподілу розраховується за тією ж самою схемою: ми беремо значення випадкової величини, множимо його на ймовірність позитивного результату, а потім підсумовуємо отримані дані для всіх величин. Дуже зручно представити ці дані графічно - так краще сприймається різниця між математичними очікуваннями різних величин.
У наступному розділі ми розповімо вам трохи про інше поняття - дисперсії випадкової величини. Воно теж тісно пов 'язане з таким поняттям, як біноміальний розподіл ймовірностей, і є його характеристикою.
Дисперсія біноміального розподілу
Ця величина тісно пов 'язана з попередньою і також характеризує розподіл статистичних даних. Вона являє собою середній квадрат відхилень значень від їх математичного очікування. Тобто дисперсія випадкової величини - це сума квадратів різниць між значенням випадкової величини і її математичним очікуванням, помножена на ймовірність цієї події.
Загалом, це все, що нам потрібно знати про дисперсію для розуміння того, що таке біноміальний розподіл ймовірностей. Тепер перейдемо безпосередньо до нашої основної теми. А саме до того, що ж криється за таким на вигляд досить складним словосполученням "" біноміальний закон розподілу "".
Біноміальний розподіл
Розберемося для початку, чому ж це розподіл біноміальний. Воно походить від слова "біном" ". Можливо, ви чули про біномі Ньютона - таку формулу, за допомогою якої можна розкласти суму двох будь-яких чисел a і b в будь-якій неотрицательной мірі n.
Як ви, напевно, вже здогадалися, формула бінома Ньютона і формула біноміального розподілу - це практично однакові формули. За тим лише винятком, що друга має прикладне значення для конкретних величин, а перша - лише загальний математичний інструмент, застосування якого на практиці можуть бути різними.
Формули розподілу
Функція біноміального розподілу може бути записана у вигляді суми наступних членів:
(n!/(n-k)!k!)*pk*qn-k
Тут n - число незалежних випадкових експериментів, p- число вдалих результатів, q- число невдалих результатів, k - номер експерименту (може приймати значення від 0 до n),! - позначення факторіалу, такою функції числа, значення якої дорівнює виробленню всіх чисел, що йдуть до неї (наприклад, для числа 4: 4!=1*2*3*4=24).
Крім цього, функція біноміального розподілу може бути записана у вигляді неповної бета-функції. Однак це вже більш складне визначення, яке використовується тільки при вирішенні складних статистичних завдань.
Біноміальний розподіл, приклади якого ми розглянули вище, - один з найпростіших видів розподілів теорії ймовірностей. Існує також нормальний розподіл, що є одним з видів біноміального. Воно використовується найчастіше, і найбільш просто в розрахунках. Буває також розподіл Бернуллі, розподіл Пуассона, умовний розподіл. Всі вони характеризують графічно області ймовірності того чи іншого процесу за різних умов.
У наступному розділі розглянемо аспекти, що стосуються застосування цього математичного апарату в реальному житті. На перший погляд, звичайно, здається, що це чергова математична штука, яка, як зазвичай, не знаходить застосування в реальному житті, і взагалі не потрібна нікому, крім самих математиків. Однак це далеко не так. Адже всі види розподілів та їх графічні вистави були створені виключно під практичні цілі, а не в якості примхи вчених.
Застосування
Безумовно, найважливіше застосування розподілу знаходять у статистиці, адже там потрібен комплексний аналіз безлічі даних. Як показує практика, дуже багато масивів даних мають приблизно однакові розподілу величин: критичні області дуже низьких і дуже високих величин, як правило, містять менше елементів, ніж середні значення.
Аналіз великих масивів даних потрібен не тільки в статистиці. Він незамінний, наприклад, у фізичній хімії. У цій науці він використовується для визначення багатьох величин, які пов 'язані з випадковими коливаннями і переміщеннями атомів і молекул.
У наступному розділі ми розглянемо, наскільки важливо застосування таких статистичних понять, як біноміальний розподіл випадкової величини в повсякденному житті для нас з вами.
Навіщо мені це потрібно?
Багато хто ставить собі таке запитання, коли справа стосується математики. А між іншим, математика не дарма називається царицею наук. Вона є основою фізики, хімії, біології, економіки, і в кожній з цих наук застосовується в тому числі і який-небудь розподіл: будь це дискретний біноміальний розподіл, або ж нормальний, не важливо. І якщо ми краще придивимося до навколишнього світу, то побачимо, що математика застосовується скрізь: у повсякденному житті, на роботі, та навіть людські відносини можна уявити у вигляді статистичних даних і провести їх аналіз (так, до речі, і роблять ті, хто працюють у спеціальних організаціях, що займаються збором інформації).
Зараз поговоримо трохи про те, що ж робити, якщо вам потрібно знати з даної теми набагато більше, ніж те, що ми виклали в цій статті.
Що ще можна почитати?
Та інформація, що ми дали в цій статті, далеко не повна. Існує безліч нюансів, що стосується того, яку форму може приймати розподіл. Біноміальний розподіл, як ми вже з 'ясували, є одним з основних видів, на якому ґрунтується вся математична статистика і теорія ймовірностей.
Якщо вам стало цікаво, або у зв 'язку з вашою роботою вам потрібно знати з цієї теми набагато більше, потрібно буде вивчити спеціалізовану літературу. Почати слід з університетського курсу математичного аналізу і дійти там до розділу теорії ймовірностей. Також знадобляться знання в області рядів, адже біноміальний розподіл ймовірностей - це ні що інше, як ряд послідовних членів.
Ув 'язнення
Перш ніж закінчити статтю, ми хотіли б розповісти ще одну цікаву річ. Вона стосується безпосередньо теми нашої статті і всієї математики в цілому.
Багато людей стверджують, що математика - марна наука, і ніщо з того, що вони проходили в школі, їм не стало в нагоді. Але ж знання ніколи не буває зайвим, і якщо вам щось не стало в нагоді в житті, значить, ви просто цього не пам 'ятаєте. Якщо у вас є знання, вони можуть вам допомогти, але якщо їх немає, то і допомоги від них чекати не доводиться.
Отже, ми розглянули поняття біноміального розподілу і всі пов 'язані з ним визначення і поговорили про те, як же це застосовується в нашому з вами житті.